3.3 存储实数

实数是带有整数部分和小数部分的数字。

实数通常采用浮点表示法。

浮点表示法的一个数字分为三个部分：符号，位移量，定点数。

例如：6780000 = +6.78*$10^6$ 三部分为：符号（+），位移量（6），定点数（6.78）

3.3.1 浮点表示法的规范化

科学记数法（用于十进制）和浮点表示法（用于二进制）的结果中，定点数都是在小数点左边保留一位非零整数。

十进制：±d.xxxxxx   d：1~9，x：0~9  
二进制：±1.yyyyyy   y：0~1

二进制数规范化之后，浮点表示法只存储这个数的三部分信息：符号，指数和尾数（小数点右边的位）

例如：+1000111.0101
规范化：+1.0001110101*$2^6$
符号：+
指数：6
尾数：0001110101

3.3.2 浮点表示法的存储

• 符号：
  用一个二进制位来存储（0或1）。

• 指数：
  指数采用余码来存储。

• 尾数：
  尾数作为无符号整数存储。

3.3.3 余码系统

指数是有符号的数，在余码系统中，正的和负的整数都可以作为无符号数存储。余码系统将要存储的数字加上一个偏移量，然后再存储。

偏移量为： $2^{m-1}-1$，m为指数部分的位数

例如：如果用4位存储单元存储指数，偏移量为7，也称为余7码

3.3.4 IEEE标准 – 单精度和双精度浮点表示法

• 单精度使用32位存储：符号1位，指数8位（偏移量127），尾数23位。也称为余127码。

• 双精度使用64位存储：符号1位，指数11位（偏移量1023），尾数52位。也称为余1023码。

单精度和双精度对比

3.3.5 IEEE标准浮点数的存储

• 在S中存储符号，0：正数；1：负数；

• 将数字转换为二进制；

• 规范化；

• 找到E和M的值；

• 连接S，E和M。

举例: 将5.75用单精度方法存储

• 符号为正，S = 0

• 十进制转换为二进制：5.75 = $(101.11)_2$

• 规范化： $(101.11)_2$ = $(1.0111)_2 * 2^2$

• E = 2+偏移量 = 2+127 = 129 = $(10000001)_2$
  M=$(0111)_2$，M不足23位，右边补0

• 连接S，E，M：
  0 10000001 01110000000000000000000

3.3.6 IEEE标准浮点数还原

• 找到S，E和M的值；

• 如果S=0，符号为正，否则为负；

• 计算指数，指数=E-127（或=E-1023）；

• 对尾数去规范化；

• 将去规范化的数字变为二进制以求出绝对值；

• 加上符号。

举例：

1100 1010 0000 0000 0111 0001 0000 1111
= -2104387.75

3.3.7 浮点数的溢出

浮点数有上溢和下溢两种情况。该表示法不能存储很小或很大的绝对值。

0的存储：S，E和M都为0。

3.3.8 浮点数的精度

5.0000001=？

5.0000002=？

5.0000003=？

$2^{23}$ = 8388608
单精度浮点数的精度为：6~7位有效数字

$2^{52}$ = 4503599627370496
双精度浮点数的精度为：15~16位有效数字